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什么是矩阵研究它有什么意义它在生活用有应用

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  矩阵乘法是线性代数中最常见的运算之一,它在数值计算中有广泛的应用。若A和B是2个nn的矩阵,则它们的乘积C=AB同样是一个nn的矩阵。A和B的乘积矩阵C中的元素C[i,j]定义为:

  若依此定义来计算A和B的乘积矩阵C,则每计算C的一个元素C[i,j],需要做n个乘法和n-1次加法。因此,求出矩阵C的n2个元素所需的计算时间为0(n3)。

  60年代末,Strassen采用了类似于在大整数乘法中用过的分治技术,将计算2个n阶矩阵乘积所需的计算时间改进到O(nlog7)=O(n2.18)。

  首先,我们还是需要假设n是2的幂。将矩阵A,B和C中每一矩阵都分块成为4个大小相等的子矩阵,每个子矩阵都是n/2n/2的方阵。由此可将方程C=AB重写为:

  如果n=2,则2个2阶方阵的乘积可以直接用(2)-(3)式计算出来,共需8次乘法和4次加法。当子矩阵的阶大于2时,为求2个子矩阵的积,可以继续将子矩阵分块,直到子矩阵的阶降为2。这样,就产生了一个分治降阶的递归算法。依此算法,计算2个n阶方阵的乘积转化为计算8个n/2阶方阵的乘积和4个n/2阶方阵的加法。2个n/2n/2矩阵的加法显然可以在c*n2/4时间内完成,这里c是一个常数。因此,上述分治法的计算时间耗费T(n)应该满足:

  这个递归方程的解仍然是T(n)=O(n3)。因此,该方法并不比用原始定义直接计算更有效。究其原因,乃是由于式(2)-(5)并没有减少矩阵的乘法次数。而矩阵乘法耗费的时间要比矩阵加减法耗费的时间多得多。要想改进矩阵乘法的计算时间复杂性,必须减少子矩阵乘法运算的次数。按照上述分治法的思想可以看出,要想减少乘法运算次数,关键在于计算2个2阶方阵的乘积时,能否用少于8次的乘法运算。Strassen提出了一种新的算法来计算2个2阶方阵的乘积。他的算法只用了7次乘法运算,但增加了加、减法的运算次数。这7次乘法是:

  Strassen矩阵乘积分治算法中,用了7次对于n/2阶矩阵乘积的递归调用和18次n/2阶矩阵的加减运算。由此可知,该算法的所需的计算时间T(n)满足如下的递归方程:

  按照解递归方程的套用公式法,其解为T(n)=O(nlog7)≈O(n2.81)。由此可见,Strassen矩阵乘法的计算时间复杂性比普通矩阵乘法有阶的改进。

  有人曾列举了计算2个2阶矩阵乘法的36种不同方法。但所有的方法都要做7次乘法。除非能找到一种计算2阶方阵乘积的算法,使乘法的计算次数少于7次,按上述思路才有可能进一步改进矩阵乘积的计算时间的上界。但是Hopcroft和Kerr(197l)已经证明,计算2个22矩阵的乘积,7次乘法是必要的。因此,要想进一步改进矩阵乘法的时间复杂性,就不能再寄希望于计算22矩阵的乘法次数的减少。或许应当研究33或55矩阵的更好算法。在Strassen之后又有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复杂性。目前最好的计算时间上界是O(n2.367)。而目前所知道的矩阵乘法的最好下界仍是它的平凡下界Ω(n2)。因此到目前为止还无法确切知道矩阵乘法的时间复杂性。关于这一研究课题还有许多工作可做。