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和记娱乐两个矩阵的乘积为零 它们的 秩有什么关

  只有零矩阵有秩 0A的秩最大为 min(m,n)f是单射,当且仅当A有秩n(在这种情况下,我们称A有“满列秩”)。

  在方块矩阵A(就是m=n) 的情况下,则A是可逆的,当且仅当A有秩n(也就是A有满秩)。如果B是任何n×k矩阵,则AB的秩最大为A的秩和B的秩的小者。

  就是:秩(A1A2...Am)≤min(秩(A1),秩(A2),...秩(Am)) 证明:考虑矩阵的秩的线性映射的定义,令A、B对应的线性映射分别为f和g,则秩(AB)表示复合映射f·g,它的象Im f·g是g的像Im g在映射f作用下的象。

  然而Im g是整个空间的一部分,因此它在映射f作用下的象也是整个空间在映射f作用下的象的一部分。也就是说映射Im f·g是Im f的一部分。

  对矩阵就是:秩(AB)≤秩(A)。对于另一个不等式:秩(AB)≤秩(B),考虑Im g的一组基:(e1,e2,...,en),容易证明(f(e1),f(e2),...,f(en))生成了空间Im f·g,于是Im f·g的维度小于等于Im g的维度。

  对矩阵就是:秩(AB)≤秩(B)。因此有:秩(AB)≤min(秩(A),秩(B))。若干个矩阵的情况证明类似。

  作为 情况的一个例子,考虑积 两个因子都有秩 1,而这个积有秩 0。可以看出,等号成立当且仅当其中一个矩阵(比如说A)对应的线性映射不减少空间的维度,即是单射,这时A是满秩的。

  于是有以下性质:如果B是秩n的n×k矩阵,则AB有同A一样的秩。如果C是秩m的l×m矩阵,则CA有同A一样的秩。A的秩等于r,当且仅当存在一个可逆m×m矩阵X和一个可逆的n×n矩阵Y使得 这里的 Ir指示r×r单位矩阵。证明可以通过高斯消去法构造性地给出。

  因为AB=0,所以B的每一列都是线的解。而根据线的基础解系中线性无关的解的个数(或者说解空间的维数)≤ n-r(A)。

  而B的列向量组是解空间的一部分,所以B的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(就是秩r(B))一定≤基础解系中线性无关的解的个数,也就是≤ n-r(A),所以r(B)≤ n-r(A),从而r(A)+r(B)=n。

  方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A),m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者,表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则矩阵是秩不足(或称为“欠秩”)的。

  定义1、在m*n矩阵A中,任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A的一个k阶子式。

  例如,在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列,它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

  定义2、A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩,记作rA,或rankA或R(A)。

  若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在rmin(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。

  由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0。