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和向量组的等价到底有什么区别

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  矩阵A和B等价,意思是矩阵A可以通过初等行变1653换化成矩阵B,等价于“存在可逆矩阵P、Q,使得PAQ=B成立”,还等价于“A和B的秩相等,即r(A)=r(B)”。

  向量组A和B等价,这里记A=(α1,α2,···,αm),B=(β1,β2,···,βn),意思是A中的任一列向量αi可以由B中所有列向量线性表示,即存在一组不全为0的数k1,k2,···,kn,使得αi=k1β1+k2β2+···+knβn成立,其中i=1,2,···,m;反过来B中的任一列向量βj可以由A中所有列向量线性表示,即存在一组不全为0的数k1,k2,···,km,使得βj=k1α1+k2α2+···+kmαm成立,其中j=1,2,···,n【这么长一段话,简单意思就是向量组A和B可以相互线性表示】,这里等价于“r(A)=r(B)=r(AB)”,所以不仅仅要求A和B的秩相等,还要求合起来的大矩阵秩相等,可以说比矩阵等价要求更严格。