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特征值与特征向量(一)

  对于给定矩阵A,寻找一个常数λ(可以为复数)和非零向量x,使得向量x被矩阵A作用后所得的向量Ax与原向量x平行,并且满足Ax=λx。

  看到硬生生的定义,模友估计会感到有点迷糊,那超模君就再从几何角度来讲一下它们到底是什么东西:

  二维公园(坐标轴)里的椅子上有一个孤独的向量v(-2,2),一个忠心(不变)的矩阵A试图从左边搭讪向量v,于是他们坐在一起得到向量Av

  他们就开始上谈天文,下聊地理。秀外慧中的向量v彻底迷住了矩阵A,待到离别时,A心里始终放不下v,当v去一个地方的时候,Av(A心里有着v,不是单纯的A)也陪着她去,就这样经历漫长的约会和成长(即下图中的向量v从左边移到右边),终于……

  向量v和Av结婚了(共线)!结婚后的向量v多了一份名义,叫做特征向量。而且向量Av的责任也变多了(上图是向量Av相对向量v来说伸长了)。也就是说,向量v与矩阵A的结婚后,向量Av保持忠心(方向)不变,责任变多了或什么东西变少了(进行比例为λ的伸缩)。

  那么我们也许会问:什么东西会变少呢?在恋爱中,向量v喜欢去爬山,向量Av喜欢玩游戏,他们一起度过许多美好时光。

  结婚后,向量Av的责任变多了,要撑起这一个家,把更多心思花在孩子教育上,兴趣爱好变少了(上图中容易看出这时候向量Av相对向量v来说“缩短”了)。责任对应的特征值大于1(伸长),兴趣爱好对应的特征值小于1(缩短)。

  随着时间的流逝(上下移动v)我们还发现,有两条直线上有着v和Av的所有踪迹,这就是他们的生活空间(特征空间)。换句话说,特征空间包含所有的特征向量。

  如果把矩阵看作是运动,那么特征值就是运动的速度,特征向量就是运动的方向。

  特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动,伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1,所有属于此特征值的特征向量变长;特征值大于0小于1,特征向量缩短;特征值小于0,特征向量缩过了界,反方向到原点那边去了。

  (1)首先,我们通过改变向量v的位置,看看向量Av有什么变化(矩阵A不动噢)

  (2)然后,我们不要动向量v,改变矩阵A每一列(通过移动a1和a2),再看看向量Av有什么变化

  (3)接下来是见证奇迹的时刻!看看超模君的金手指怎么移动向量v使它变成特征向量吧!(不好意思,在上移的时候手抖了一下)

  (4)最后,我们改变矩阵A(通过移动a1和a2),重点看看特征空间(S1和S2)是怎么变化(特征值也会发生变化哟)

  说了这么多,可能有模友会问:到底特征值和特征向量有什么用呢?不会仅仅用来考试吧!

  (1)可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中。例如,在力学中,惯量的特征向量定义了刚体的主轴。惯量是决定刚体围绕质心转动的关键数据;

  (2)数学生态学家用来预测原始森林遭到何种程度的砍伐,会造成猫头鹰的种群灭亡;

  (3)著名的图像处理中的PCA方法,选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵,从而达到降维分析+特征显示的方法,还有图像压缩的K-L变换。再比如很多人脸识别,数据流模式挖掘分析等方面。

  (4)在谱系图论中,一个图的特征值定义为图的邻接矩阵A的特征值,或者(更多的是)图的拉普拉斯算子矩阵,Google的PageRank算法就是一个例子。

  有一句话说得好:“只要有振动就有特征值,即振动的自然频率”。如果你曾经弹过吉他,你已经求解了一个特征值问题。。。

  就是运动的方向说明下,因为线性变换总是在各种基之间变来变去,所以我下面画图都会把作图所用的基和原点给画出来。在i⃗,j⃗\vec i,\vec ji,j​下面有个向量v⃗\vec vv :随便左乘一个矩阵AAA,图像看上去没有什么特殊的:我调整下 v⃗\vec vv 的方向,图像看上......

  求解。(Python和C/C++的相应代码在博客的最后给出)当一个计算机专业的人放下手头的工作,转而写博客时。说明他的CSDN账号积分所剩无几了。。。。。。基于Matlab为例进行讲解求取矩阵

  求解的具体步骤如下:步骤一:确定所求矩阵           X = [2 1 0;1 3 1;0 1 4];步骤二:求解X的

  实验内容: 通过对具体的文件存储空间的管理、文件的物理结构、目录结构和文件操作的实现,加深对文件系统内部功能和实现过程的理解。 要求: 1.在内存中开辟一个虚拟磁盘空间作为文件存储器,在其上实现一个简