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矩阵等价与向量组等价有什么区别?

  在20200726的订正里最后有一问,两个3阶秩2的矩阵A,B,它们各自张成各自的平面,两个平面之间是啥关系,它们才能等价?

  先上基本结论:若两个平面正交(两个平面垂直),它们就没法等价,只要不垂直,就必定能等价。

  这个是一般教材里看不到的对矩阵等价的“几何”说明。当然,这只能在3维空间中用平面(秩2)子空间来表达、解释。如果不用“平面”这个几何空间概念来说这事,还有一个办法就是用叉积的内积为零来区分。比如A里(三个列向量),任何两个不共线的A内向量的叉积形成一个不为零向量,这个向量与叉积成它的这两个向量的每一个都内积为零。在B里也随便选两个不共线的列向量做叉积,也得到一个向量。若A叉积与B叉积的内积为零,A与B就不能等价了。A叉积就是A平面的法向量,而B叉就是B平面的法向量么,两个平面正交,它们的法向量必定是正交的么。所以,这两个叉积形成的两个向量内积为零与两个平面正交是一件事的两个说法,一个几何说法,一个线代说法。

  我们在底下(前面)说过,矩阵换列,不改变列向量,只改变列向量的顺序,矩阵张成的空间没变化(还在原平面内)。但矩阵换行则改变了向量,使得向量可能该出原来几个向量分布的平面,就是出了原来列向量所张成的空间了。就像你在一张纸上放了几个大头针,“换列”只是改变了它们在逆时针方向上的前后顺序,但它们还在纸面上。但若换行了,就可能普通让一(或几)根针刺破的纸面,与纸面不在一个平面里了。

  本来两个平面是正交的,它们里面的秩2矩阵是不能等价的,但由于一(或几)根针刺破的平面,过这些平面形成的新平面就可能与另外一个平面不正交了。不正交的平面相互间就会产生“投影”,在这个平面上的两个向量只要不共线,它们在另一个平面上的投影就一定不共线,而一个平面上任意两个不共线的向量就能把其它向量都表达(线性组合出来)了。一个矩阵A的在另一个矩阵B平面上有投影,而这个投影可以把另一个矩阵平面B上的所有向量(当然包括组成矩阵B的)线表出来,这就是“等价”A与B等价的几何意义。

  以3阶秩2矩阵为例。A(a₁,a,₂a₃)换列后得到B(a₂,a₃,a₁)。A与B虽有同样的列向量(从向量组的角度看是一个组),但A,B里列向量与同样一组系数x(x₁,x₂,x₃)的结合顺序变了,a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃≠a₂x₁+a₃x₂+a₁x₃,A与B是两个不同的矩阵了。但由于它们出自同一个向量组(向量相同),所以,虽然Ax=y₁,Bx=y₂,且y₁≠y₂,但是y₁和y₂都处在一个平面上。

  这时,A与B等秩,等价,互表。如果B里的列向量与A里的不同,可只要它们的向量都处在一个平面里(同一个子空间里),它们就还是能互表,等价。但是,如果它们处在不同的秩为2的子空间(平面)里,它们依然等秩(2),但一定不能互表了。可是,能不能等价呢?之前搞错的就在这里了。答案是能的,因为有“换行”的操作。

  “换行”与“换列”大不同,换行不改变列向量,只改变列向量的位置,结果改变了列向量与系数的结合顺序,最终导致用同一个向量组,同一个系数做组合,却得到不同的y 。而换行并不改变向量与系数的结合顺序,换行改变的是列向量。向量一被改变(方向变了),它们就不一定处在原来的那个平面上了。原来处在两个平面上的向量,不管进行多少次“换列”,它们还是在各自原来的平面上,它们还是没有办法互表的。但通过换行的办法,同步改变矩阵里每一个列向量的方向。本来A和B矩阵张成的平面的法向量是不同的,换列不改变A,B平面方向,但换行能。所以,A,B即使不能互表,它们还是能等价的。