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如何求矩阵的秩

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  按照初等行变换原zhi则把原来的矩阵变换为阶梯dao型矩阵,总行数减去内全部为零的行容数即非零的行数就是矩阵的秩了。

  可以同时用初等列变换,但行变换足已,有时可能用到一个结论:若A中有非零的r阶子式, 则 r(A)=r;若A的所有r+1阶子式(若存在)都是0,则r(A)=r.逆命题也成立。

  矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

  在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

  当r(A)=n-2时,最高阶非零子式的阶数=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵。

  当r(A)=n-1时,最高阶非零子式的阶数=n-1,所以n-1阶子式有可能不为零,所以伴随阵有可能非零(等号成立时伴随阵必为非零)。

  定义1. 在m*n矩阵A中,任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A的一个k阶子式。

  例如,在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列,它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

  若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在rmin(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。

  由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A) 0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0。

  由行列式的性质1(1.5[4])知,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

  概念来说,来用初等行变换源化成梯矩阵, 梯矩阵中bai非零行数就是矩阵的秩.可以同du时用初等zhi列变换, 但行变dao换足已.更具体来的说,另任意一个r阶子式不是0,r+1阶子式是0,就把r叫做这个矩阵的秩。比如一个3*3矩阵,你化成行最简发现最后一行都是0,那秩就是2,如果化完都不是0,秩就是3,如果有两行是0,那秩就是1

  设A是一组向量du,zhi定义A的极大无关组中向dao量的个数为A的秩。专

  定义1.在mn矩阵A中,任属意决定k行和k列 (1kmin{m,n}) 交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A的一个k阶子式。

  例如,和记娱乐!在阶梯形矩阵 中,选定1,3行和3,4列,它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。

  定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩,记作rA,或rankA。

  显然rA≤min(m,n) 易得:若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在rmin(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。

  由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A) 0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0。