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矩阵的迹 到底有什么物理意义呢?

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  展开全部矩阵的迹作为数学概念,是由实际问题抽象得出的,要了解矩阵的迹的物理意义,还要先从它的数学意义说起。

  根据线性代数的知识可知,在选定线性空间的一组基底后,每一个线性变换都对应于一个矩阵,但是为线性空间选择基底可以是很任意的,选的基底不同,一般其线性变换对应的矩阵就不同,为了研究问题,就要找到这些不同的矩阵间的共同之处,这就是矩阵的迹,也就是说,同一个线性变换,在不同基底下的矩阵虽然不同,但其这些矩阵的迹相同。

  多说一点,我们生活的世界是变化的,研究问题就要抓住这些变化中的不变量进行研究,例如解析几何中对平面上的两点,选不同的坐标系会导致点的坐标不同,但这两点间的距离可以用公式求出,它是不变的,即线段长度是坐标变换下的不变量,也就是我们要重点研究的对象。

  物理中经常要用到张量,2阶张量可以用矩阵来表示(1阶张量即矢量,和记娱乐,0阶张量即标量),广义相对论中用到的里奇张量就是2阶张量(用来描述时间弯曲程度),物理中参考系不同,里奇张量的分量一般就不同,而对里奇张量进行类似于求矩阵迹的运算后(严格说法是经度规升指标后求缩并),得到标量曲率R,它是不依赖于参考系的,即任何参考系看来标量曲率R是相同的,这可以算是矩阵迹的一个物理意义。