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矩阵的秩的性质

  的秩的性质和矩阵秩与矩阵运算之间的关系要谈矩阵的秩,就得从向量组的秩说起,向量组的秩,简而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组,在线性方程组的概念中(课本P90)定理1说:“线性方程组有解的充要条件是,它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。”那么不妨把矩阵用向量组的方式来看,则有行秩和列秩,一个矩阵的行秩和列秩相同,而其初等变换又不会改变秩。自然而然,我们就得到了一个判断矩阵秩的方法,就是将它转化为阶梯形矩阵,非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了,包括数乘、加减、乘积等,又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念,综合所学,我们得到如下性质:1、矩阵的初等变换不改变秩,任一矩阵的行秩等于列秩。2、秩为r的n级矩阵(),任意r+1阶行列式为0,并且至少有一个r阶子式不为0.3、,4、设A是矩阵,B为矩阵,则5、设A是矩阵,P,Q分别是s,n阶可逆矩阵,则6、设A是矩阵,B为矩阵,且AB=0,则7、设A是矩阵,则其中,也涉及到线、对于齐次线性方程组,设其系数矩阵为A,则方程组有惟一非零解,则有无穷多解,换言之,即为克莱姆法则,非齐次线性方程组有解时,惟一解,有无穷多解。还有满秩矩阵:9、可逆满秩10、行(列)向量组线性无关,即n级矩阵化为阶梯形矩阵后非零行数目为n。扩展到矩阵的分块后:11、12、证明:1、先证明初等变换不会改变秩,就先从行秩开始。设矩阵A的行向量组