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  矩阵相关性质_其它_高等教育_教育专区。矩阵相关性质 等价:存在可逆矩阵 P,Q ,使 PAQ B ,则 A 与 B 等价; 相似:存在可逆矩阵 P ,使 P1AP B ,则 A 与 B 相似; 合同:存在可逆矩阵 C ,使 CT

  矩阵相关性质 等价:存在可逆矩阵 P,Q ,使 PAQ B ,则 A 与 B 等价; 相似:存在可逆矩阵 P ,使 P1AP B ,则 A 与 B 相似; 合同:存在可逆矩阵 C ,使 CT AC B ,则 A 与 B 合同、 一、相似矩阵的定义及性质 定义 1 设 A, B 都就是 n 阶矩阵,若有可逆矩阵 P ,使 P1 AP B ,则称 B 就是 A 的相似矩 阵,或说矩阵 A 与 B 相似,记为 A ~ B 、对 A 进行运算 P1 AP称为对 A 进行相似变换,可逆 矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵、 注 矩阵相似就是一种等价关系、 (1)反身性: A ~ A 、 (2)对称性:若 A ~ B ,则 B ~ A 、 (3)传递性:若 A ~ B , B ~ C ,则 A ~ C 、 性质 1 若 A ~ B ,则 (1) AT ~ BT ; (2) A1 ~ B1 ; (3) A E B E ; (4) A B ; (5) R(A) R(B) 、 1 推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 2 相似,则 1, 2 , , n 就是 A 的n n 个特征值、 性质 2 若 A PBP1 ,则 A 的多项式 ( A) P (B)P 1 、 推论 若 A 与对角矩阵 相似,则 (1 ) ( A) P()P1 P (2 ) P 1 (n ) 、 注 (1)与单位矩阵相似的只有它本身; (2)有相同特征多项式的矩阵不一定相似、 二、矩阵可对角化的条件 矩阵相关性质 对 n 阶方阵 A ,如果可以找到可逆矩阵 P ,使 P1 AP 为对角阵,就称为把方阵 A 对 角化。 定理 1 n 阶矩阵 A 可对角化(与对角阵相似) A 有 n 个线性无关的特征向量。 推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等,则 A 与对角阵相似、(逆命题不成立) 注:(1)若 A ~ ,则 的主对角元素即为 A 的特征值,如果不计 i 的排列顺序,则 唯一, 称之为矩阵 A 的相似标准形。 (2)可逆矩阵 P 由 A 的 n 个线性无关的向量构成。 把一个矩阵化为对角阵,不仅可以使矩阵运算简化,而且在理论与应用上都有意义。 可对角化的矩阵主要有以下几种应用: 三、实对称矩阵的相似矩阵 实对称矩阵就是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化、即存在可逆矩阵 P ,使得 P1 AP 、更可找到正交可逆矩阵T ,使与T 1 AT 定理 2 实对称矩阵的特征值为实数。 定理 2 的意义:因为对称矩阵 A 的特征值 1 为实数,所以齐次线性方程组 ( A i E)x 0 就 是实系数方程组。又因为 A i E 0 ,可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系,从而对 应的特征向量可以取实向量。 定理 3:实对称矩阵 A 的对应于不同特征值的特征向量正交。 定理 4: A 为 n 阶实对称矩阵, 0 就是 A 的 k 重特征值,则对应于 0 的特征向量中,线性无关 的个数为 k ,即 ( A 0 E) X 0 的基础解系所含向量个数为 k 。 定理 5:(实对称矩阵必可对角化) 对于任一 n 阶实对称矩阵 A ,一定存在 n 阶正交矩阵T ,使得T 1 AT 。其中 就是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角阵。 定义 2 若二次型 f xT Ax ,则对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵,也把 f 叫做对称矩阵 A 的二次型、对称矩阵 A 的秩就叫做二次型 f 的秩、 推理 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件就是: A 的特征值全为正、 定理 3 对称矩阵 A 正定的充分必要条件就是: A 的各阶主子式都为正,即 a11 0, a11 a21 a12 a11 0, , a22 an1 a1n 0; ann 对称矩阵 A 为负定的充分必要条件就是:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正 1、设 A 为正定阵,则 AT , A1, A* 均为正定矩阵; 2、设 A, B 均为正定矩阵,则 A B 也就是正定矩阵、 矩阵相关性质 四、如果 n 阶矩阵 A 与 B 相似,那么 A 与 B 的特征值相同不? 答 一定相同。因为它们有相同的特征多项式。 证明 A 与 B 相似,即存在可逆矩阵 P ,使 P1 AP B , B E P1 AP P1(E)P P1(A E)P P1 A E A E 但务必注意: 1、 即使 A 与 B 的特征值都相同, A 与 B 也未必相同。 2、 虽然相似矩阵有相同的特征值,但特征向量不一定相同。 五、判断矩阵 A 就是否可对角化的基本方法有哪些? 答 常有如下四种方法。 (1)判断 A 就是不就是实对称矩阵,若就是一定可对角化。 (2)求 A 的特征值,若 n 个特征值互异,则 A 一定可对角化。 (3)求 A 的特征向量,若有 n 个线性无关的特征向量,则 A 可对角化,否则不可对角化。 (4)方阵 A 可对角化的充要条件就是 A 的每个重特征值对应的线性无关的特征向量的个数 等于该特征值的重数。 一般来说,常用方法(2)与(4),且(2)中的条件仅仅就是充分的。 六、已知 n 阶方阵 A 可对角化,如何求可逆矩阵 P ,使得 P 1 AP diag(1, 2 , , n ) ? 答 若 n 阶方阵 A 可对角化时,则求可逆矩阵 P 的具体步骤为: (1)求出 A 的全部特征值 1, 2 , , s ; (2)对每个 i (1 i s) ,求齐次方程组 ( A i E)x 0 的基础解系,得 n 个线 , , n ) ,则 P 1 AP diag(1, 2