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和记娱乐转置矩阵的计算公式

  这一篇是为了后面着色效果的数学基础做积累,之前我们使用矩阵的大部分情况都是直接的仿射空间变换,就是仿射空间A变换到仿射空间B,使用矩阵也都是如下:

  其计算细节也就是矩阵行与向量列的点积,其计算意义也就是获得新仿射空间中的坐标分量,也聊了很多了。

  这次我们就来学两个矩阵的操作,一个是矩阵的转置操作(得到转置矩阵),一个是矩阵的逆操作(得到逆矩阵)。

  第四个公式推导,可以用4x4矩阵推算一下,因为我们三维图形学中基本也就只用4x4矩阵了,推导一遍可以加深印象。

  存在矩阵M以及矩阵N,假如M*N = 矩阵I(Identify Matrix单位矩阵),那么矩阵M和矩阵N互为逆矩阵。

  这么一看逆矩阵有个很大的作用就是“还原变换”,什么意思呢,假设M与N互为逆矩阵,那么M·N·齐次坐标A得到的还是原来的齐次坐标A,那么就意味着还原了这个变换,从仿射空间角度来讲就是,仿射空间A经过矩阵M变换到仿射空间B,那么仿射空间B经过M的逆矩阵N变换就还原成了仿射空间A。

  好,到这里,转置矩阵和逆矩阵的常用公式性质都演示了一遍,顺便说下为什么要观察学习这两个矩阵操作呢?或者说这两个矩阵操作具体有什么用呢?就为了好玩推出一些稀奇古怪的公式定理?nonono,这和后面需要在三维图形学中的特异空间推导有极大关系,这里先提前做好知识储备工作,后面就来上实际的CG shader应用。

  XTXθ=XTHX^TX\theta =X^THXTXθ=XTH这个矩阵X我们不能确定是否是方矩阵,所以我们在其左侧同时乘以X矩阵的转置,这样 就在θ\thetaθ的左侧得到一个方矩阵。

  我们可以用与A相关的特征分解来解释A的奇异值分解。A的左奇异向量是AATAA^TAAT的特征向量,A的右奇异向量是ATAA^TAATA的特征向量,A的非零奇异值是ATAA^TAATA特征值的平方根,同时也是AATAA^TAAT特征值的平方根。2

  这些公式部分来自于斯坦福《机器学习》教程,部分来自网络。我在推到计算过程的时候经常遇到一些对优化函数求导运算的步骤。因为目标函数通常为标量数值。它的迹等于它本身,故可以用以下的公式计算。其中A、B、C均表示矩阵(向量),Tr表示迹, 表示行列式,T表示转置。