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矩阵的特征值一般都有什么用?

  所谓矩阵的特征值和特征向量,从线性空间的角度更好理解。n维矩阵对应一个n维线性空间到自身的线性变换。在某些情况下,这个n维线性空间可以分解为若干子空间的直和,每个子空间的向量线性变换后仍然在该子空间内(不变子空间),并可以由之前的向量数乘对应的特征值得到。这时矩阵是可对角化的。此时如果把线性变换的基选为各个不变子空间中线性无关的一组向量,那么同样的线性变换的矩阵就是对角阵,也就是说线性变换作用在这些基上仅仅是做了伸缩而已。这时问题就得到了极大的简化,如果我们想知道某个向量在线性变换下的性质,只需要把它分解成特征向量之和,分别研究,最后再加起来即可。这里的n维线性空间可以推广到更复杂的线性空间,比如函数空间,微分方程的解空间,量子力学的希尔伯特空间等等。注意矩阵可对角化是矩阵有特征值特征向量的充分条件。

  应用的话题主提到求主应力和振动频率,类似的还有求惯量主轴。此外还有求偏微分方程的解(比如量子力学的能级和对应的态),求马尔可夫链的稳定分布(特征值为1的特征向量)和收敛性,估算矩阵运算的误差。此外傅立叶变换本质上也是把函数用特定函数空间的一组正交基表示,这些基恰好又充当了特征向量(比如波动方程在边界条件下的解),因而能解决很多相关问题。

  我们谈论矩阵,谈论的其实不是一个方块,而是一个线性映射在一定基下的表示。

  矩阵的特征向量指的是线性变换作用于此向量后方向不变;特征值就是对应的伸缩比例。

  如果站在这样一个观点看,所有线性变换都可以定义特征值与特征向量。这些线性变换可以存在于无穷维空间中,也可能不存在矩阵表示。

  1.微分算子在一定边界条件下的本征值问题。和记娱乐!例如量子力学中的哈密顿量本质上是线性变换,它的特征值也就是定态系统所能具有的能量。我们在讨论谐振腔的固有频率时也会涉及这种情况。

  2.模最大特征值一般意味着线性变换最大的拉伸能力。这在涉及到矩阵的幂时有用,对估计矩阵的范数也有用。(矩阵的范数在数值计算中是个常见的概念。例如解方程组,就是一个向量不断地用矩阵作用,收敛性和矩阵的范数很有关系)

  应用?就我知道的是在振动分析里在对于多自由度机械结构作振动分析时,常常便遇到特征值问题。经过仔细解析,求得的特征值会给出振动的自然频率,而特征向量就会给出振动的模态的振动行为。

  线性代数在应用中的分布非常广泛 ,不仅是包含有量子力学的薛定谔方程,分子轨域 还有图论等等

  在machinelearning里面会用到矩阵。现在正在学习,感觉好难,大学基本没血。又要工作又要学习。。