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什么叫矩阵对特征值?

  在一篇解决鞍点问题的文章里看到了关于矩阵对特征值的应用,请问矩阵对特征值是如何定义的?查百度差不多,跪求大神指点?

  其中x是已知向量,A是一个矩阵,y是A左乘x的结果(另外一个向量)。按一般教材通常的说法,矩阵A把向量x线性变换成了y。

  一般而言,经过线性变换后,y的大小(模长)和方向(向量里各分量之间的比值)与x会不一样。但是,但是,但是,在某些方向上(x里的分量之间的比值为某些数时),会出现一个特别的情况,就是y虽然在模长上与x可能还是不同的,但y与x的方向相同(或相反)。这个时候,y就相当于是x乘上了一个系数λ,以上y=Ax就可以写成y=λx了,这样就有Ax=λx。

  当x经过A的变换得到一个与x方向一致的y时,y与x的模长之比λ就叫A在这个方向上的特征值。

  你随便什么时候都可以拿y的模长与x的模长进行比较,但那个比值没有啥意义。只有在y与x同向(或反向)的特殊情况下,这个比值才有意思,和记娱乐就是你用这个比值就可以直接从x求出y而无需左乘A了。这个方向上的x就被称为特征向量,而这个比值就被称为特征值了。无论x的模长是多少,只要它的方向在这个特定的方向一致,这个x就是一个特征向量。