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和记娱乐矩阵特征值与矩阵本身的关系是什么?

  求矩阵的特征值和特征向量与函数式求根有的一比。在函数式y=f(x)里,有三大类问题,一个是求函数值,这个就是不断代入各个x值,然后看y是多少。把这个过程与一个坐标系结合在一起,就是一个反映这个函数式的一条曲线。

  第三类问题是求根。求根其实就是求一个特别的解,就是y=0时,要找到x是多少。

  对于线性方程组的矩阵表达式y=Ax,也有这三类问题,第一,根据A,用不同的x代入(实现A里列向量的不同线性组合),然后得到对应每一个x的y,然后根据不同x的取值做出y=Ax的图形。这个作图操作很少做,其实它对理解线性变换很有帮助。

  第二,设定y=b,得到Ax=b,然后根据已知的A和b,倒求出x来(矩阵A里的列向量要做怎样的组合才能得到b)。线代里大量的篇幅在讨论如何才能求的x,以及如何才能更方面的求。各款对A的折腾(高斯消元,克莱姆法则,LU分解,SVD分解),都是在琢磨如何更简便地求的x。

  这个y的特殊在哪呢?y=0么?非也!这个y的特殊性在于它与x共线(同向或逆向)。从公式上是这么表达的,y=Ax=λx。本来从y=Ax里面你得不出y与x共线这个结果的(在大多数情况下),但对于有些变换A,当x取某些方向(记住是方向,与x的长度无关)时,会得到相应的、与x同方向(长度往往不同)的y,这就有了y=λx。教材里讲了,这个λ是一个数值,它与x数乘的结果是一个与x共线的向量。这是一个特殊的y,就像在函数式里,x取到根植时,y为零的特殊性类似。而这个λ值就是y与x的长度比。只要在这个方向上,不管x取啥值(不管啥长度),y一定与之共线,二者的长度之比总是λ,就是y/x=λ在这个方向上总是成立的。

  如果你费一点劲,和记娱乐,做根据y=Ax做一个图,从图形上看(以二维平面作图为例),你把一个向量x(二维,定长)转一圈(相当与取很多长度相同方向不同的向量摆开),就形成一个以向量长度为半径的一个圆,如同时你用y=Ax跟着画图,你会发现对于有的A,y虽然在大部分情况下与x距离原点的距离不同,方向也不同,但在某个方向上,x与y距离或还是不同,和记娱乐但方向相同,就是y,x和原点在一条直线上。这时的y与x长度之比λ就是特征值,这个特别方向上的y就是特征向量。如果你换一个长度的x来画圆,也会在这个方向上得到一个同向的y,而且与x的比值同样为那个λ。这个特征值的出现与x的长度无关,与x的方向有关,这个方向完全由A的构造确定。