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和记娱乐n阶矩阵一定有n个特征值吗?为什么?

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  n阶矩阵一定有n个特征值。因为特征值是特征多项式的根,n阶方阵的特征多项式是个n次多项式,根据代数基本定理,n次多项式有且只有n个根(重根按重数计算),这些根可能是实数,也可能是复数。

  更加详细的说法为:一个n阶矩阵一定有n个特征值(包括重根),也可能是复根。一个n阶实对称矩阵一定有n个实特征值(包括重根)。每一个特征值至少有一个特征向量(不止一个)。不同特征值对应特征向量线性无关。

  一般而言,对布于任何交换环上的方阵都能定义特征多项式。要理解特征多项式,首先需要了解一下特征值与特征向量,这些都是联系在一起的:

  设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非零列向量x使得关系式Ax=λx成立,那么,这样的数λ就称为方阵A的特征值,非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量。

  然后,就可以对关系式进行变换:(A-λE)x=0 其中E为单位矩阵。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是系数行列式为0,即A-λE=0。带入具体的数字或者符号,可以看出该式是以λ为未知数的一元n次方程。

  称为方阵A的特征方程,左端 A-λE是λ的n次多项式,也称为方阵A的特征多项式。

  要理解特征多项式,首先需要了解一下特征值与特征向量,这些都是联系在一起的:

  设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非零列向量x使得关系式Ax=λx成立,那么,这样的数λ就称为方阵A的特征值,非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量。

  然后,我们也就可以对关系式进行变换:(A-λE)x=0 其中E为单位矩阵。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是系数行列式为0,即A-λE=0。和记娱乐带入具体的数字或者符号,可以看出该式是以λ为未知数的一元n次方程。

  故称为方阵A的特征方程,左端 A-λE是λ的n次多项式,也称为方阵A的特征多项式。

  特征值是特征多项式的根,n阶方阵的特征多项式是个n次多项式,根据代数基本定理,n次多项式有且只有n个根(重根按重数计算),这些根可能是实数,也可能是复数。